رد على التعليق

تقطير المصفوفات

Matrix Diagonalization

تعريف 1: المصفوفة A من الحجم n×n تدعى قطورة (أو قابلة للتقطير) إذا كنت مشابهة لمصفوفة قطرية، أي إذا وجدت مصفوفة P عكوسة (قابلة للإنعكاس) بحيث أن المصفوفة $P^{ - 1} AP$ تكون مصفوفة قطرية. عملية إيجاد P تسمى تقطيراً للمصفوفة A.

قد يدور تساؤل فيما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قطورة ، والجواب هو: لا، توجد مصفوفات^[م] لا تقبل التقطير .

مبرهنة^[م] 1: المصفوفة A من الحجم n×n تكون قطورة إذا وفقط إذا كان لديها n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً^[م].

البرهان:

$\Leftarrow$

لنفرض أن A قطورة، إذاً توجد مصفوفة عكوسة بحيث $D = P^{ - 1} AP$ قطرية. لتكن $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ عناصر القطر للرئيسي لـ D ، ولتكن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ متجهات^[م] الأعمدة لـ p ، فإن:

$PD = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 \lambda _1 } & {p_2 \lambda _2 } & {...} & {p_n \lambda _n } \\\end{array}} \right]$

وبما أن $D = P^{ - 1} AP$ فإن $AP=PD$ مما يؤدي إلى:

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} {Ap_1 } & {Ap_2 } & {...} & {Ap_n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\\end{array}} \right]$

بعبارة أخرى فإن $Ap_i=\lambda_i p_i$ لكل متجه عمود $p_i$ . وهذا بكل بساطة يعني أن المتجهات $p_i$ عبارة متجهات ذاتية لـ A. ولكن بما أن P عكوسة لذا فإن أعمدتها مستقلة ذاتياً، أي مجموعة المتجهات الذاتية مستقلة خطياً.

$\Rightarrow$

لنفرض أنه يوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً لـ A . لنن هذه المتجهات الذاتية هي $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ وقيمها الذاتية $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ . لنعرف المصفوفة P على الشكل: $P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]$ . ولكن بما أن كل $p_i$ هو متجه ذاتي لـ A ، لذا فإن $Ap_i=\lambda_i p_i$ و:

$AP = A\left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\\end{array}} \right]$

الطرف الأيمن من المعادلة يمكن أن يكتب الشكل التالي:

$AP = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = PD$

وبما أن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ مستقلة خطياً ، لذا فإن P عكوسة وبذلك نحصل على: $D = P^{ - 1} AP$ ، أي أن A قطورة. $_\blacksquare$

إن المبرهنة 1 توفر لنا طريقة واضحة لكيفية تقطير المصفوفة A ، وذلك من خلال الخطوات التالية:

(1) أوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ مع قيمها الذاتية $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ . إذا كانت هذه المجموعة من المتجهات الذاتية غير موجودة فإنه لا يمكن تقطير A.
(2) كون المصفوفة P بحيث $P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]$ .
(3) المصفوفة القطرية $D = P^{ - 1} AP$ ستكون عناصر قطرها الرئيسي هي $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ .

(تحت الإنشاء)

المراجع:

[1] T. Apostol, Linear Algebra, Wiley-Interscience, 1997. (اضغط هنا)

[2] K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, 1971. (اضغط هنا)

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

علي ، عضو مؤسس في شبكة رمز

رد

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.