رد على التعليق

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

لن نعتمد الجانب النظري أو المجاهيل في كتابة هذا الموضوع بل سـأضع مثالاً و أطبق عليه الطريقة.

هذه الطريقة صالحة من أجل $\det (A) \ne 0$ حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط $\det (A) \ne 0$

معكوس مصفوفة

لتكن A مصفوفة معرفة كما يلي:

$A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]$

الخطوة الأولى : حساب محدد^[م] المصفوفة ، وسنختار العمود الأخير لحسابه. إذا

$\det (A) = 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| - 0 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| + 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 2 & 1 \\\end{array}} \right| = - 9 + 5 = - 4$

إذا المصفوفة قابلة للإنعكاس .

الخطوة الثانية : نقوم بحساب ألفة المصفوفة. إن حساب الألفة يعتمد على حساب المحدد و يمز لها بـ $\tilde A$

$\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { - ( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( + 3)} \\ { + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]$

كيف تم الحساب ؟

بخصوص الإشارات خارج الأقواس، يتم وضعها بشكل تلقائي بعد الحساب و هي ضمن قانون الألفة، و تتوزع بشكل دوري + ثم - ثم + ثم - و هكذا. أما القيم داخل الأقواس سأبين كيف تم الحساب. السطر الأول $\begin{array}{*{20}c} { + 1} & { + 2} & { - 9} \\\end{array}$ ، تم الحساب كتالي :

1) نختار الموقع الأول ( تقاطع^[م] العمود الأول و السطر الأول ) ، من المصفوفة A و الحامل لرقم 1 ثم نحسب المحدد الناتج عنه و هو $\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ { - 3} & 1 \\\end{array}} \right|$ فنحصل على القيمة 1 دون ضربها في القيمة الموجودة في الموضع الأول من A نضعها في الموضع الأول .

2) القيمة +2 ، بنفس الطريقة نختار الآن الموضع الثاني ( تقاطع السطر الأول و العمود الثاني ) ، الحامل للقيمة -2 و نحسب المحدد الناتج عنه وهو $\left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 \\ 3 & 1 \\\end{array}} \right|$ و تكون النتيجة^[م] هي 2 . فنضعها في الموضع الثاني . دون الضرب في القيمة الأصلية الموجودة في A . و نواصل العملية مع باقي القيم لنحصل على الألفة .

الخطوة الثالثة: حساب المنقولة. وهي بسيطة تعتمد على تحويل^[م] أسطر الألفة إلى أعمدة و أعمدة الألفة إلى اسطر لنجد

$\tilde A^t = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & { - 1} \\ { - 2} & { - 2} & 2 \\ { - 9} & { - 3} & 5 \\\end{array}} \right]$

الخطوة الرابعة: حساب مقلوب المصفوفة.

$A^{ - 1} = \frac{{\tilde A^t }}{{\det (A)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\ {9/4} & {3/4} & { - 5/4} \\\end{array}} \right]$

حل الجمل (النظم) الخطية

نعلم أن الجمل الخطية تقبل أكثر من صيغة نختار منها ، الصيغة المصفوفية ، وهي كتالي $A.X = B$ حيث A هي المصفوفة ، و X مصفوفة المجاهيل ، و B مصفوفة نواتج الجملة

لتكن الجملة التالية

$\begin{array}{l} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y = 5 \\ 3x - 3y + z = 4 \\ \end{array}$

معاملات المجاهيل هي القيم المكونة للمصفوفة A وتسمى مصفوفة المعاملات. والمصفوفة X فهي مصفوفة المجاهيل, أما المصفوفة Bفهي للقيم المطلقة.

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\\end{array}} \right],\quad X = \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right],\quad B = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

وبالتالي يصبح النظام أو جملة المعادلات الخطية بالشكل التالي

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

أو $AX = B$ وهي المعادلة المصفوفة الممثلة لجملة المعادلات الخطية. بما أن A قابلة للانعكاس فإن $X = A^{ - 1} \cdot B$ أي أن

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\ {9/4} & {3/4} & { - 5/4} \\\end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

و منه نجد حل الجملة الخطية:

$\begin{array}{l} x = \frac{{ - 3}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = 2 \\ z = \frac{{27}}{4} + \frac{{15}}{4} - \frac{{20}}{4} = \frac{{11}}{2} \\ \end{array}$

* كتب أصل المقال من قبل العقل الجميل- منتدى الرياضيات رمز

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

رد

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.