حل معادلات الدرجة الرابعة - طريقة فيراري

Ferrari's Method

الصورة العامة لمعادلة الدرجة الرابعة هي :

$z^4+ az^3+ bz^2+ cz+d= 0$

ويمكننا اختزالها إلى المعادلة

$x^4+ px^2+ qx + r = 0{\rm{ }}$

باستبدال مشابه لما تم عرضه في طريقة كاردانو ، وهو في هذه الحالة : $z = x - \frac {a}{4}$ ؟
فكرة الحل تعتمد على تحويل^[م] المعادلة إلى فرق بين مربعين يمكن تحليله ، وبالتالي الحصول على معادلتين من الدرجة الثانية يمكن حلها بسهولة ، ولإجراء ذلك نقوم بإضافة وطرح حدين .. على الشكل :

$x^4 \ \boxed {+ 2u{\rm{ }}x^2+ {\rm{ }}u^2 {\rm{ }} - {\rm{ }}2ux^2 {\rm{ }} - {\rm{ }}u^2 }+ {\rm{ }}px^2+ qx + r = 0$

حيث (u) ثابت يمكن إيجاد قيمته لكي تصبح المعادلة على صورة فرق بين مربعين ، وبإعادة ترتيب الحدود :

$\left( {x^4+ 2u{\rm{ }}x^2+ {\rm{ }}u^2 {\rm{ }}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {\left( {2u - p} \right){\rm{ }}x^2 -{\rm{ }}q{\rm{ }}x + \left( {u^2- r} \right)} \right) = 0$

لكي يكون القوس الثاني يمثل مربعاً كاملاً ، يجب أن تتحقق العلاقة التالية:

$- q = 2\sqrt {(2u - p)(u^2- r)}$

وبعد التربيع وفك الأقواس^[م] نحصل على المعادلة :

$u^3- ({\textstyle{1 \over 2}}p){\rm{ }}u^2- r{\rm{ }}u + ({\textstyle{1 \over 2}}p{\rm{ }}r - {\textstyle{1 \over 8}}q^2 ) = 0$

وهذه هي معادلة تكعيبية في (u) يمكن حلها باستخدام طريقة كاردانو ، وإيجاد قيمة (u) ،
بعد ذلك نقوم بالتحليل :

$(x^2+ u)^2- \left( {\sqrt {2u - p} {\rm{ }}x - \frac{q}{{2\sqrt {2u - p} }}} \right)^2= 0$

$\left( {x^2+ \sqrt {2u - p} x + u - \frac{q}{{2\sqrt {2u - p} }}} \right)\left( {x^2- \sqrt {2u - p} x + u + \frac{q}{{2\sqrt {2u - p} }}} \right) = 0$