الصفحة الرئيسية

analysis

مفردة لجميع قوانين التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي بشكل عام

براهين لمتباينة الوسط الحسابي-الوسط الهندسي

Several Proofs of AM-GM Inequality

• الوسط  الحسابي :
لأي مجموعة من الأعداد الحقيقية x_1,x_2\cdots,x_n فإن المعدل الحسابي لهم يعطى بواسطة :

\mu =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

• الوسط  الهندسي :
لأي مجموعة من الأعداد الحقيقية الغير سالبة (لتشمل الصفر) x_1,x_2,\cdots,x_n فإن المعدل الهندسي لهم يعطى بواسطة :

\rho=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}

مثال خاص ( N u R )

تعريف (1) ( عائلة تقريباً منفصلة Almost Disjoint Family ) :

أي عائلة من المجموعات نقول عنها عائلة تقريباً منفصلة إذا و فقط إذا كان أي مجموعتين منها تقاطهم تقريبا عدد محدود من النقاط ( بمعنى التقاطع ممكن فارغ أو عدد محدود من النقاط فقط ) و هذا يسوق إلى أن تقاطع أي عدد محدود منهم على تقريباً منفصل .


تعريف (2) ( فضاء البعد الصفري 0-dimensional Space ) :

نقول عن الفضاء التوبولوجي (X,\tau) عبارة عن فضاء البعد الصفري إذا و فقط إذا كان يملك أساس[م] عناصره عبارة عن مجموعات كلوبن ( مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت ) Clopen Sets .

نظرية :

فضاء طبيعي مثالي

Perfectly Normal Space

تعريف (1) ( الفضاء الطبيعي المثالي Perfectly Normal Space ) :

نقول عن الفضاء التوبولوجي (X,\tau) المحقق لمسلمة الفصل T_4 بأنه عبارة عن فضاء طبيعي مثالي إذا و فقط إذا لكل مجموعة مغلقة هي عبارة عن مجموعة G_\delta.

و هذا يكافىء مباشرة لو تم القول :

إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة هي عبارة عن مجموعة F_\sigma.


تعريف (2) ( المجموعة الصفرية Zero set ) :

الفضاء الطبيعي التام

Completely Normal Space

تعريف فضاء طبيعي تام ( Completely Normal Space ) (1) :

يقال عن الفضاء التوبولوجي (X,\tau) بأنه فضاء طبيعي تام إذا و فقط إذا لكل فضاء جزئي من X عبارة عن فضاء طبيعي .

لنعرض تعريف مكافىء له وهو :

تعريف 2 :

فضاء شبه منتظم

Semiregular Space

تعريف :

نقول عن المجموعة المفتوحة U مجموعة مفتوحة منتظمة ( regular open set ) أو مفتوحة بإنتظام ( regularly open ) إذا و فقط إذا كان لدينا int(\overline {U}) = U.

و نقول عن المجموعة المغلقة V مجموعة مغلقة منتظمة ( regular closed set) أو مغلقة بإنتظام ( regularly closed) إذا وفقط إذا كان لدينا \overline{int(V)}=V.

معلومات هامة عليهما :

الفضاء المنتظم التام و فضاء تيكنوف

Completely Regular Space and Tychonoff Space

تعريف فضاء منتظم تام (Completely Regular Space ) :

يقال عن الفضاء التوبولوجي (X,\tau) عبارة عن فضاء منتظم تام إذا و فقط إذا لكل مجموعة مغلقة X\supseteq A و نقطة x\in X بحيث x\notin A يوجد لدينا اقتران[م] يورزين X\rightarrow [0,1] ، حيث :

f(x)=0 و f(A)=\{1\}.

الآن إذا كان (X,\tau) عبارة عن T_1 و فضاء منتظم تام يطلق عليه بمسلمة الفصل T_{3\frac{1}{2}}.
و لكن يطبق على مسلمة الفصل T_{3\frac{1}{2}} بفضاء تيكنوف (Tychonoff space ) . وهو مسمى مشهور له .