عناصر الوحدة في الحلقات

Unit Elements(in Rings)

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة على عناصر الوحدة
المراجع

تعريف

نقول عن عنصر a من حلقة^[م] R ذات محايد أنه قابل للانعكاس من جهة اليمين right invertible (قابل للانعكاس من جهة اليسار left invertible) إذا وجد $b \in R$ بحيث $ab = 1$ (بحيث $ba = 1$ ) ويسمى b المعكوس الأيمن للعنصر a (المعكوس الأيسر للعنصر a) في R.

نقول عن a أنه قابل للانعكاس invertible أو عنصر وحدة unit element إذا وجد $c \in R$ بحيث $ac = ca = 1$ ويسمى c معكوس a في R (inverse of a) . نشير إلى مجموعة عناصر الوحدة في حلقة R بالرمز $U(R)$ .

واضح أنه إذا كان للعنصر a معكوس $b_1$ من جهة اليمين ومعكوس $b_2$ من جهة اليسار فإن $b_1 = b_2$ , لذلك العنصر a له معكوس إذا وإذا فقط كان له معكوس من جهة اليمين وله معكوس من جهة اليمين.

أمثلة على عناصر الوحدة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ مجموعة الوحدات هي $U(\mathbb{Z}) = \{ + 1, - 1\}$

2. الحلقة $\mathbb{Q}$ عبارة عن حقل^[م] لذلك نجد أن $U(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}^*$ أي أن كل عنصر غير الصفر هو عنصر وحدة.

حقيقة1: إذا كان $a^{ - 1}$ معكوس a في حلقة R فإنه وحيد.

البرهان: إذا كان $a_1 ,a_2$ معكوسين للعنصر a فإن $aa_1 = aa_2 = 1_R$ . بالضرب في $a^{ - 1}$ نستنتج أن $a_1 = a_2$ .

حقيقة2: إذا كانت R حلقة ذات محايد $1$ فإن مجموعة عناصر الوحدة $U(R)$ تشكل زمرة^[م] بالنسبة لعملية الضرب.

البرهان: المجموعة $U(R)$ غير خالية فهي تحوي محايد R. ليكن $a,b \in U(R)$ عندئذ يوجد $a^{ - 1} ,b^{ - 1} \in R$ بحيث

$\begin{array}{l} aa^{ - 1} = a^{ - 1} a = 1 \\ bb^{ - 1} = b^{ - 1} b = 1 \\ \end{array}$

وبالتالي

$(ab)(b^{ - 1} a^{ - 1} ) = a(bb^{ - 1} )a^{ - 1} = a1a^{ - 1} = 1$

وبالمثل $(b^{ - 1} a^{ - 1} )(ab) = 1$ وعليه فإن $ab \in U(R)$ . عملية التجميع متحققة وراثيا من R. أيضا محايد R يمثل محايد في $U(R)$ كما أن $aa^{ - 1} = a^{ - 1} a = 1$ لكل $a \in U(R)$ .

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري,

جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.