بين أن.... لا ينتمي الى N

Elementary Algebra
Algèbre élémentaire

أساسيات الجبر مثل حل المعادلات والمتراجحات ، المتتابعات ، مفاهيم الدوال ومجالاتها ، أساسيات الأعداد والتعداد ، الأعداد المركبة

المشرفون: ابو مؤيد, ذياب, المراقبون

قوانين المنتدى
  • هذا المنتدى مخصص لـ :
    • حل المعادلات والمتباينات بمختلف أنواعها
    • جبر الأعداد المركبة
    • المتتابعات الهندسية والحسابية
    • أساسيات الدوال والتطبيقات
    • أساسيات الحساب التوافقي ومبرهنة ذات الحدين

بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة safi-hitman » الخميس أكتوبر 22, 2009 2:15 am

السلام عليكم

لدي تمرين لم أستطع ان أحله و قد طلب منا الأستاذ ايجاد حل له مع العلم انه لا يعلمه الحل هو كذلك

بين أن

صورة
صورة العضو الشخصية
safi-hitman
عـضـو
 
مشاركات: 38
اشترك في: الخميس أكتوبر 22, 2009 2:03 am
تلقى الشكر: 0 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة h2maf » الخميس أكتوبر 22, 2009 6:14 am

\[
\begin{array}{l}
 Let \\ 
 \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} = n\,,\,\,\,\,\,\,n \in {\rm N},\,\,0 < b < a \\ 
 Let \\ 
 a = x + y \\ 
 b = x - y \\ 
 Then \\ 
 \frac{{x^2  + y^2 }}{{2xy}} = n\,\, \\ 
 x^2  + y^2  = 2nxy \\ 
 x^2  - 2nxy + y^2  = 0 \\ 
 x = ny \pm y\sqrt {n^2  - 1}  \\ 
  \Rightarrow n^2  - 1 = D^2 ,\,\,\,\,\,D\, \in {\rm Z} \\ 
  \Rightarrow \left( {n - D} \right)\left( {n + D} \right) = 1 \\ 
  \Rightarrow \left( {n - D} \right) =  \pm 1 \wedge \left( {n + D} \right) =  \pm 1 \\ 
  \Rightarrow n = 1 \wedge D = 0 \\ 
  \Rightarrow x = y \\ 
  \Rightarrow b = 0 \\ 
 but\,\,b \ne 0 \\ 
 Then\,\,there\,\,is\,\,no\,\,solution\,\,for\,\,\frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} = n\,,\,\,\,\,\,\,n \in {\rm N},\,\,0 < b < a \\ 
 \end{array}
\]
صورة العضو الشخصية
h2maf
عـــضــــو رائــــد
عـــضــــو رائــــد
 
مشاركات: 854
اشترك في: السبت يوليو 25, 2009 6:55 am
مكان: الدمام
تلقى الشكر: 18 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة mathman » الخميس أكتوبر 22, 2009 2:07 pm

الحل
نص مخفي:
:
لنفرض أن \gcd(a,b)=d، ثم نفرض أن a=dx, b=dy بحيث \gcd(x,y)=1 بالتالي نستنتج أن:

\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{d^2(x^2+y^2)}{d^2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}


واضح أنه يكفي إثبات أن: \gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)<x^2-y^2.
نفرض أن g=\gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)، إذا:

g=\gcd(2x^2,x^2-y^2)

وهذا يعني أن g|2x^2, g|x^2-y^2. لاحظ أنه إذا كان g|x^2 فإن g لن يقسم x^2-y^2، بالتالي فإن g|2.

هنا نحصل فقط على قيمتين: g=1 وهنا مباشرة نستنتج أن g<x^2-y^2 وهو ما أردناه، بالتالي تحدث الصحة. أما إن كان g=2. وأيضا نجد أن g<x^2-y^2 بالتالي يتحقق المطلوب.

ايضا نبرهن أنه لأي عددين 0<y<x\in \mathbb{N} فإن x^2-y^2>2.

البرهان: لاحظ أن:
x^2-y^2>x^2-(x-1)^2=2x-1>2
وذلك لأنx\ge 2.


a=x+y,b=x-y
هل هذا يعني أن المقام يجب أن يكون أن يكون عددا زوجيا؟ لماذا؟
صورة العضو الشخصية
mathman
عـــضــــو رائــــد
عـــضــــو رائــــد
 
مشاركات: 536
اشترك في: الثلاثاء إبريل 01, 2008 10:15 pm
مكان: GA, US
تلقى الشكر: 8 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة h2maf » الخميس أكتوبر 22, 2009 3:53 pm

mathman كتب:الحل
نص مخفي:
:
لنفرض أن \gcd(a,b)=d، ثم نفرض أن a=dx, b=dy بحيث \gcd(x,y)=1 بالتالي نستنتج أن:

\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{d^2(x^2+y^2)}{d^2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}


واضح أنه يكفي إثبات أن: \gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)<x^2-y^2.
نفرض أن g=\gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)، إذا:

g=\gcd(2x^2,x^2-y^2)

وهذا يعني أن g|2x^2, g|x^2-y^2. لاحظ أنه إذا كان g|x^2 فإن g لن يقسم x^2-y^2، بالتالي فإن g|2.

هنا نحصل فقط على قيمتين: g=1 وهنا مباشرة نستنتج أن g<x^2-y^2 وهو ما أردناه، بالتالي تحدث الصحة. أما إن كان g=2. وأيضا نجد أن g<x^2-y^2 بالتالي يتحقق المطلوب.

ايضا نبرهن أنه لأي عددين 0<y<x\in \mathbb{N} فإن x^2-y^2>2.

البرهان: لاحظ أن:
x^2-y^2>x^2-(x-1)^2=2x-1>2
وذلك لأنx\ge 2.


a=x+y,b=x-y
هل هذا يعني أن المقام يجب أن يكون أن يكون عددا زوجيا؟ لماذا؟


أشكرك على الملاحظة
ليس ضروريا أن يكون المقام عددا زوجيا
\[
\begin{array}{l}
 x = \frac{{a + b}}{2} \\ 
 y = \frac{{a - b}}{2} \\ 
 x,y \in \frac{{\rm N}}{2} \\ 
 \end{array}
\]
صورة العضو الشخصية
h2maf
عـــضــــو رائــــد
عـــضــــو رائــــد
 
مشاركات: 854
اشترك في: السبت يوليو 25, 2009 6:55 am
مكان: الدمام
تلقى الشكر: 18 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة mathman » الخميس أكتوبر 22, 2009 4:18 pm

h2maf كتب:
mathman كتب:الحل
نص مخفي:
:
لنفرض أن \gcd(a,b)=d، ثم نفرض أن a=dx, b=dy بحيث \gcd(x,y)=1 بالتالي نستنتج أن:

\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{d^2(x^2+y^2)}{d^2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}


واضح أنه يكفي إثبات أن: \gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)<x^2-y^2.
نفرض أن g=\gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)، إذا:

g=\gcd(2x^2,x^2-y^2)

وهذا يعني أن g|2x^2, g|x^2-y^2. لاحظ أنه إذا كان g|x^2 فإن g لن يقسم x^2-y^2، بالتالي فإن g|2.

هنا نحصل فقط على قيمتين: g=1 وهنا مباشرة نستنتج أن g<x^2-y^2 وهو ما أردناه، بالتالي تحدث الصحة. أما إن كان g=2. وأيضا نجد أن g<x^2-y^2 بالتالي يتحقق المطلوب.

ايضا نبرهن أنه لأي عددين 0<y<x\in \mathbb{N} فإن x^2-y^2>2.

البرهان: لاحظ أن:
x^2-y^2>x^2-(x-1)^2=2x-1>2
وذلك لأنx\ge 2.


a=x+y,b=x-y
هل هذا يعني أن المقام يجب أن يكون أن يكون عددا زوجيا؟ لماذا؟


أشكرك على الملاحظة
ليس ضروريا أن يكون المقام عددا زوجيا
\[
\begin{array}{l}
 x = \frac{{a + b}}{2} \\ 
 y = \frac{{a - b}}{2} \\ 
 x,y \in \frac{{\rm N}}{2} \\ 
 \end{array}
\]


أيضا، في حلي خطأ (على ما أظن) وهو ناتج تسرعي، هل تعرف أين هو :mrgreen:
صورة العضو الشخصية
mathman
عـــضــــو رائــــد
عـــضــــو رائــــد
 
مشاركات: 536
اشترك في: الثلاثاء إبريل 01, 2008 10:15 pm
مكان: GA, US
تلقى الشكر: 8 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة safi-hitman » الخميس أكتوبر 22, 2009 10:02 pm

mathman كتب:الحل
نص مخفي:
:
لنفرض أن \gcd(a,b)=d، ثم نفرض أن a=dx, b=dy بحيث \gcd(x,y)=1 بالتالي نستنتج أن:

\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{d^2(x^2+y^2)}{d^2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}


واضح أنه يكفي إثبات أن: \gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)<x^2-y^2.
نفرض أن g=\gcd(x^2+y^2,x^2-y^2)، إذا:

g=\gcd(2x^2,x^2-y^2)

وهذا يعني أن g|2x^2, g|x^2-y^2. لاحظ أنه إذا كان g|x^2 فإن g لن يقسم x^2-y^2، بالتالي فإن g|2.

هنا نحصل فقط على قيمتين: g=1 وهنا مباشرة نستنتج أن g<x^2-y^2 وهو ما أردناه، بالتالي تحدث الصحة. أما إن كان g=2. وأيضا نجد أن g<x^2-y^2 بالتالي يتحقق المطلوب.

ايضا نبرهن أنه لأي عددين 0<y<x\in \mathbb{N} فإن x^2-y^2>2.

البرهان: لاحظ أن:
x^2-y^2>x^2-(x-1)^2=2x-1>2
وذلك لأنx\ge 2.


a=x+y,b=x-y
هل هذا يعني أن المقام يجب أن يكون أن يكون عددا زوجيا؟ لماذا؟


شكرا على جوابك

لكن هذا البرهان لا يعني أنه لا ينتمي الى N.

ممكن برهان أسهلو أبسط لأني في قسم أولى باك علوم رياضية و هذا تمرين من درس "مبادئ في المنطق".
صورة العضو الشخصية
safi-hitman
عـضـو
 
مشاركات: 38
اشترك في: الخميس أكتوبر 22, 2009 2:03 am
تلقى الشكر: 0 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة x » الخميس أكتوبر 22, 2009 11:38 pm

هذه فكرة سريعة:
بدون فقد للعمومية يمكننا فرض أن a,b أوليان نسبيا (لا عوامل مشتركة)
\[\frac{{{a^2} - {b^2}}}
{{{a^2} + {b^2}}} = 1 + \frac{{2{b^2}}}
{{{a^2} - {b^2}}}\]
ليكون الناتج عدد صحيحا يجب أن يكون الحد الثاني صحيحاً ، أي
\[2{b^2} = q({a^2} - {b^2}) \Rightarrow (q + 2){b^2} = q{a^2} \Rightarrow \boxed {\frac{{{a^2}}}
{{{b^2}}} = \frac{{q + 2}}
{q}}\]
من الصيغة داخل المستطيل، إذا كان q فردياً فإن q+2 و q أوليان نسبيان ولا يوجد عددان مربعان الفرق بينهما 2.
إذا كان q زوجياً فنكتبه على الشكل q=2p وبالتالي فإن
\[\frac{{{a^2}}}
{{{b^2}}} = \frac{{p + 1}}
{p}\]
الآن p,p+1 أوليان نسبياً ولا يوجد مربعان الفرق بينهما 1.
صورة العضو الشخصية
x
عضو فاعل
عضو فاعل
 
مشاركات: 266
اشترك في: السبت مايو 13, 2006 8:57 pm
تلقى الشكر: 2 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة ذياب » الخميس أكتوبر 22, 2009 11:52 pm

قال صافي :
شكرا على جوابك

لكن هذا البرهان لا يعني أنه لا ينتمي الى N.

ممكن برهان أسهلو أبسط لأني في قسم أولى باك علوم رياضية و هذا تمرين من درس "مبادئ في المنطق".

السلام عليكم مادمت في القسم أولى رياضية ومادمت في درس المنطق الرياضي فالهدف من التمرين هو تطبيق أنماط البرهان
وهنا بالضبط البرهان بالخلف ( بالنقيض) ويرتكز على مايلي " لبرهان صحة قضية نفرض أنها صحيحة ونصل إلى تناقض "
إليك حل يتفق مع مادكرت .

نفرض صحة مايلي :

\frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} = n....\left( {n \in {\rm N},n \ne 1} \right)
نص مخفي:
لوكان n = 1 لوجدناb = 0 وهذا يناقض الفرضية

نجد الحسابات التالية

\begin{array}{l}
 n + 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} + 1 = \frac{{2a^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 n - 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} - 1 = \frac{{2b^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{n^2  - 1}}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) = \left( {\frac{a}{b}\left( {n - 1} \right)} \right)^2  \\ 
 \end{array}
الطرف الأيمن مربع تام والطرف الثاني هو جداء عددين طبيعيين وهو عدد طبيعي ليس بالضرورة مربعا تاما ( استعمل مثالا مضادا )
نص مخفي:
المثال المضاد هو الآخر نمط من أنماط البرهان .

وهذا تناقض لأن ليس كل عدد زوجي هو مربع تام وهذا التناقض المطلوب وعليه القضية المفروضة صحيحة .
صورة
صورة العضو الشخصية
ذياب
مشرف أقسام الثانوية
 
مشاركات: 2746
اشترك في: الثلاثاء يونيو 26, 2007 6:49 pm
مكان: الجزائر
تلقى الشكر: 17 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة safi-hitman » الجمعة أكتوبر 23, 2009 5:50 pm

ذياب كتب:قال صافي :
شكرا على جوابك

لكن هذا البرهان لا يعني أنه لا ينتمي الى N.

ممكن برهان أسهلو أبسط لأني في قسم أولى باك علوم رياضية و هذا تمرين من درس "مبادئ في المنطق".

السلام عليكم مادمت في القسم أولى رياضية ومادمت في درس المنطق الرياضي فالهدف من التمرين هو تطبيق أنماط البرهان
وهنا بالضبط البرهان بالخلف ( بالنقيض) ويرتكز على مايلي " لبرهان صحة قضية نفرض أنها صحيحة ونصل إلى تناقض "
إليك حل يتفق مع مادكرت .

نفرض صحة مايلي :

\frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} = n....\left( {n \in {\rm N},n \ne 1} \right)
نص مخفي:
لوكان n = 1 لوجدناb = 0 وهذا يناقض الفرضية

نجد الحسابات التالية

\begin{array}{l}
 n + 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} + 1 = \frac{{2a^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 n - 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} - 1 = \frac{{2b^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{n^2  - 1}}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) = \left( {\frac{a}{b}\left( {n - 1} \right)} \right)^2  \\ 
 \end{array}
الطرف الأيمن مربع تام والطرف الثاني هو جداء عددين طبيعيين متعاقبين فهو عدد زوجي
وهذا تناقض لأن ليس كل عدد زوجي هو مربع تام وهذا التناقض المطلوب وعليه القضية المفروضة صحيحة .


شكرا لك أخي على الرد.

فعلا كما قلت يجب أن نستعمل البرهان بالخلف لكن :

\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)

ليس دائما عددا زوجيا

مثلا نأخذ n = 2

\left( {2 + 1} \right)\left( {2 - 1} \right) = 3
آخر تعديل بواسطة safi-hitman في الأحد أكتوبر 25, 2009 12:31 am، عدل 1 مرة
صورة العضو الشخصية
safi-hitman
عـضـو
 
مشاركات: 38
اشترك في: الخميس أكتوبر 22, 2009 2:03 am
تلقى الشكر: 0 مرة

Re: بين أن.... لا ينتمي الى N

مشاركةبواسطة ذياب » الجمعة أكتوبر 23, 2009 6:02 pm

safi-hitman كتب:
ذياب كتب:قال صافي :
شكرا على جوابك

لكن هذا البرهان لا يعني أنه لا ينتمي الى N.

ممكن برهان أسهلو أبسط لأني في قسم أولى باك علوم رياضية و هذا تمرين من درس "مبادئ في المنطق".

السلام عليكم مادمت في القسم أولى رياضية ومادمت في درس المنطق الرياضي فالهدف من التمرين هو تطبيق أنماط البرهان
وهنا بالضبط البرهان بالخلف ( بالنقيض) ويرتكز على مايلي " لبرهان صحة قضية نفرض أنها صحيحة ونصل إلى تناقض "
إليك حل يتفق مع مادكرت .

نفرض صحة مايلي :

\frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} = n....\left( {n \in {\rm N},n \ne 1} \right)
نص مخفي:
لوكان n = 1 لوجدناb = 0 وهذا يناقض الفرضية

نجد الحسابات التالية

\begin{array}{l}
 n + 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} + 1 = \frac{{2a^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 n - 1 = \frac{{a^2  + b^2 }}{{a^2  - b^2 }} - 1 = \frac{{2b^2 }}{{a^2  - b^2 }} \\ 
 \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \frac{{n^2  - 1}}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} = \frac{{a^2 }}{{b^2 }} \\ 
 \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) = \left( {\frac{a}{b}\left( {n - 1} \right)} \right)^2  \\ 
 \end{array}
الطرف الأيمن مربع تام والطرف الثاني هو جداء عددين طبيعيين متعاقبين فهو عدد زوجي
وهذا تناقض لأن ليس كل عدد زوجي هو مربع تام وهذا التناقض المطلوب وعليه القضية المفروضة صحيحة .


شكرا لك أخي على الرد.

فعلا كما قلت يجب أن نستعمل البرهان بالخلف لكن :

\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)

ليس دائما عددا زوجيا

مثلا نأخذ n = 4

\left( {2 + 1} \right)\left( {2 - 1} \right) = 3

ماأقصده ليس دائما مربع تام وقد برهنت بنفسك بمثال مضاد وهو الآخر نمط من أنماط البرهان
صورة
صورة العضو الشخصية
ذياب
مشرف أقسام الثانوية
 
مشاركات: 2746
اشترك في: الثلاثاء يونيو 26, 2007 6:49 pm
مكان: الجزائر
تلقى الشكر: 17 مرة

التالي

العودة إلى الأوليات والجبر في المرحلة الثانوية

الموجودون الآن

المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر

cron