منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **bendabd** » الأحد أغسطس 03, 2008 12:50 am

بسم الله الرحمان الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
نقول أن العدد هـ هو أساس اللوغاريتمات إذا طرح السؤال: مامعنى "العدد هـ هو أساس اللوغاريتمات " فكيف يكون الجواب.

اختارت إدارة المنتدى هذا الموضوع ليكون سؤال اليوم مع شيء من الإضافة والتعديل
الموضوع مقترح من قبل: مها خالد
التعديل والإضافة من قبل: المحترف

سؤال اليوم(2):
عدد نابير أو الأساس اللوغاريتم الطبيعي e هو عدد رياضي شهير جدا وله مميزات خاصة ربما أشهرها أنه الوحيد الذي يجعل ميل المماس عند x مساويا لقيمة الدالة عند x , بلغة أخرى f(x) = e^x = f'(x)

. السؤال اليوم مكون من عدة فقرات:

1) لماذا سمي اللوغاريتم ذو الأساس e اللوغاريتم الطبيعي دون غيرة من اللوغاريتمات.
2) هل ساهمت النهايات (نهايات المتتابعات تحديدا) في اكتشاف e؟
3) هل هناك طريقة رياضية مثبتة تحصر e بين عددين نسبيين بالدقة التي نشاء؟
4) كيف نعبر عن e بواسطة كسر متصل continued fraction .

ولا يمنع المقام من طلب أخير لكنه خارج السؤال: تقديم تطبيقات للعدد e خارج مجال التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتهما إن أمكن.

بالتوفيق.

بواسطة x » الثلاثاء أغسطس 05, 2008 2:26 pm

أنه الوحيد الذي يجعل ميل المماس عند x مساويا لقيمة الدالة عند x , بلغة أخرى .

أرى أن هذه الجملة تجيب على السؤال الأول

فالتابع الأسي هو التابع الوحيد الذي يحقق ذلك ، وبعبارة أخرى فإنه القيمة الذاتية eigenvalue لمؤثر الاشتقاق differentiation operator

فهل يريد السؤال إثبات ذلك ؟

bendabd كتب:نقول أن العدد هـ هو أساس اللوغاريتمات إذا طرح السؤال: مامعنى "العدد هـ هو أساس اللوغاريتمات " فكيف يكون الجواب.

على ما أظن أنه لو تم أخذ اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد

فإننا نقول ما هي القوة التي يجب رفعها للعدد

بحيث تصبح مساوية للعدد

.

سؤال اليوم(2):
عدد نابير أو الأساس اللوغاريتم الطبيعي e هو عدد رياضي شهير جدا وله مميزات خاصة ربما أشهرها أنه الوحيد الذي يجعل ميل المماس عند x مساويا لقيمة الدالة عند x , بلغة أخرى . السؤال اليوم مكون من عدة فقرات:

1) لماذا سمي اللوغاريتم ذو الأساس e اللوغاريتم الطبيعي دون غيرة من اللوغاريتمات.
2) هل ساهمت النهايات (نهايات المتتابعات تحديدا) في اكتشاف e؟
3) هل هناك طريقة رياضية مثبتة تحصر e بين عددين نسبيين بالدقة التي نشاء؟
4) كيف نعبر عن e بواسطة كسر متصل continued fraction .

ولا يمنع المقام من طلب أخير لكنه خارج السؤال: تقديم تطبيقات للعدد e خارج مجال التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتهما إن أمكن.

بالتوفيق.

1) حسب ما ورد في الويكيبيديا أنه معظم الناس يتبعون نظام العد حسب الأساس

ولكنه ليس ذو أهمية عظيمة ولكنها متعارف عليها في معظم الثقافات في حساب عدد الأيام وعدد الأشهر و غيرها و بعض الدول ربما قد غيرت نظام العد عندها للأساس 10,20

.
ولكن الأساس

يظهر كثيراً في الحسابات الرياضة و هو الأساس الوحيد الذي يمكن أن يحقق قيمة واحد عند إشتقاق الإقتران التالي وتعويض x=1

و الإقتران هو $\log_e (x)$ .

وكذلك هو الأساس الوحيد الذي يمكن أن يعبر بواسطة Taylor series أو Maclaurin series أو بواسطة التكامل .

*************************************************************************
2) نعم فقد ساهمت النهاية في إيجاد قيمة

عن طريق حساب الفائدة المركبة Compound interest و قد تم الحديث عنها بواسطة الأخ الفاضل علي بموضوع على الشبكة :

http://mathramz.com/math/number_e

*************************************************************************
3) :think:

*************************************************************************

4) هذا عبارة عن سؤال طرحه الأخ الفاضل مهند و موضح خطوات حله من قبلي و قبل الأخت كريمة .

http://mathramz.com/xyz/viewtopic.php?f=6&t=1237

*************************************************************************

5) في الحقيقة الموضوع الذي كتبه الأخ علي فيه تطبيق للعد

من خلال الفائدة المركبة و لكن لها تطبيق آخر في الإحتمالات فمثلاُ لو افترضنا أن شخصاُ يلعب بآلة من أجل أن يربح باللعبة ، و يريد إجراء اللعب مئة مليون مرة ، فلو قلنا إحتمال الفوز هو $p=\frac{1}{10^8}$ ، فإن احتمال فوز في

مرة سيكون حسب توزيع ذات الحدين binomial distribution هو :

$\left( \begin{gathered} 10^8 \hfill \\ k \hfill \\ \end{gathered} \right)(\frac{1}{{10^8 }})^k (1 - \frac{1} {{10^8 }})^{10^8 - k}$

فلو كانت k=0

بمعنى لم يربح نهائياً ، سنجد أن المقدار :

$(1-\frac{1}{10^8})^{10^8}\approx \frac{1}{e} =\lim_{n \to \infty } (1-\frac{1}{n})^n$

************************************************************************
المرجع الأساسي بإجابتي الويكيبيديا

وفقكم الله و بوركتم :-)

بواسطة **nabil maani** » الأربعاء أغسطس 06, 2008 10:16 am

السلام عليكم

سمي باللوغاريتم الطبيعي e لأنه عند البحث في ايجاد مشتقات التوابع الأسية والتي كان أساسها a عدد موجب

$\left( {a^x } \right)^\prime = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^{x + \Delta x} - a^x }}{{\Delta x}} = a^x \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^{\Delta x} - 1}}{{\Delta x}}$

ان النهاية الأخيرة تساوي 1 عندما a=e , ,الله أعلم

[b]أما الجانب الطريف في هذا العدد هو:

أن نايبر ، وهو لورد اسكتلندي ، لم يكن مكتشفه ، بل مكتشفه بستانياً كان يعمل عند اللورد ( الإقطاعي ) نايبر ، فقد كان ولع نايبر بالهندسة يدفعه ليطلب طلبات غريبة من البستاني ، فتارة يقول له أزرع لي حديقة على شكل مستطيل ، وتارة أزرع حديقة على شكل مثلث ، ويعطيه بذور قليلة تناسب المساحة المطلوب زراعتها

حتى أنه بالغ في طلباته لدرجة ابتكار أشكال هندسية غير معروفة في ذلك الوقت ، مما دفع البستاني لللإطلاع والقراءة الهندسية

وخلال هذه المعاناة استطاع البستاني وبتوجيهات نايبر الغريبة زراعة حديقة تأخذ شكل أقرب إلى المثلث ولكن أحد الأضلاع على شكل قطع أو مساحة تحت منحنى دالة أسية ، وعند محاولة إيجاد المساحة تمكن من الوصول إلى هذا العدد e
قد يستغرب البعض إذا عرف أن هذا العدد سمي e نسب إلى الكلمة Ecosse ( اسكتلندا ) .

المصدر : كتاب / أجمل المعادلات الرياضية ، ترجمة /أديب خوري ، مراجعة / د.محمد دبس ، الناشر / أكاديميا ، بيروت لبنان

منقول بتصرف[/b]

ثمة فارقاً بين العددين الأصمين

وe

ذلك أن

عدد حقيقي جبري،

أي إنه يصلح أن يكون جذراً لحدودية (هي هنا س2- 2) أمثالها منطقة،

بينما العدد e عدد حقيقي متسام، أي إنه لا يمكن أن يكون جذراً لأي حدودية أمثالها منطقة.

كذلك فإن العدد e (وقد أوجد العالم العربي الكاشي قيمة تقريبية له بـ16 رقما بعد الفاصلة) هو عدد حقيقي متسام.

منقول

جزيل الشكر أخت مها على المعلومات الجميلة .و جزيت خيراً

ولكن ربما في آخر الكتاب مراجع أجنبية ، فهل لك أن تذكريها لنا .

إن كنت تملكين الكتاب طبعاً .

و جزاك الله خيراً :-)

بواسطة **Islamic_Empire** » الأربعاء أغسطس 06, 2008 8:08 pm

ممم هل يمكن تمثيلها بكسر متصل هل تقصد المعادلة المعروفة

CODE: تحديد الكل: e = 1/0! + 1/1! + 1 /2! + 1/3! .............

والله أعلم

بواسطة **ابو مؤيد** » الخميس أغسطس 07, 2008 6:36 am

الكسر المتصل يكتب على الصورة:
$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+...}}}}}\\\\=[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,....]:a_0\in Z,a_k \in Z^+\bigcup \left\{ 0\right\},k \geq 1 \\\\\Rightarrow e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,2,10,1,....]$