![\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + \cdots + \sqrt[n]{n}}}{n}} \right)](/xyz/latexrender/pictures/83994d9f4d82d862ed7a16e774551565.png "\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + \cdots + \sqrt[n]{n}}}{n}} \right)")
تم رفع السؤال بتاريخ 10\10\2009
منتدى الرياضيات رمز
أول منتدى عربي قدم الرياضيات بأكواد الليتك لنقاش علمي في الجبر , الهندسة , التحليل , نظرية الأعداد
سؤال اليوم 34 -:: نهاية متتالية ::-
5 مشاركة • صفحة 1 من 1
سؤال اليوم 34 -:: نهاية متتالية ::-
بواسطة Muhanad » الجمعة أكتوبر 03, 2008 4:38 pm
تم رفع السؤال بتاريخ 10\10\2009
في النرجس
تفكر في نبات الأرض وانظر * * * إلى آثار ما صنع المليك
عيون من لجين شاخصات * * * بأبصار هي الذهب السبيك
على قضب الزبرجد شاهدات * * * بأن الله ليس له شريك
تفكر في نبات الأرض وانظر * * * إلى آثار ما صنع المليك
عيون من لجين شاخصات * * * بأبصار هي الذهب السبيك
على قضب الزبرجد شاهدات * * * بأن الله ليس له شريك
-
Muhanad - مشرف قسم التحليل
- مشاركات: 1137
- اشترك في: الجمعة فبراير 23, 2007 11:36 am
- مكان: Syria
Re: سؤال اليوم 34 -:: نهاية متتالية ::-
بواسطة QwareeqMathematics » الاثنين أكتوبر 12, 2009 2:43 pm
له له وين الشباب 
لعل هذا مفيد :
viewtopic.php?f=6&t=3515&hilit=%D9%86%D9%87%D8%A7%D9%8A%D8%A9+%D9%85%D8%AA%D8%AA%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9
لعل هذا مفيد :
viewtopic.php?f=6&t=3515&hilit=%D9%86%D9%87%D8%A7%D9%8A%D8%A9+%D9%85%D8%AA%D8%AA%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9
نص مخفي:
-
QwareeqMathematics - مراقب عام
- مشاركات: 2449
- اشترك في: الخميس إبريل 05, 2007 8:49 am
- مكان: In DiFfErEnT OpEn SeT oF IdEaL L
![\[
\begin{array}{l}
Let \\
f_n = 1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + ..... + \sqrt[n]{n} \\
{\rm It}\,\,{\rm can}\,\,{\rm be}\,\,{\rm proven}\,\,{\rm by}\,\,{\rm induction}\,\,{\rm that}\,\, \\
n \le f_n < n + p\sqrt {n\,} \,\,\,\,\,\, \\
\,{\rm where}\,\,{\rm p}\,\,{\rm is}\,\,{\rm a}\,\,{\rm constant} \\
\Rightarrow 1 \le \frac{{f_n }}{n} < \frac{{n + p\sqrt {n\,} }}{n}\, \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + ..... + \sqrt[n]{n}}}{n} = 1 \\
\\
At\,\,n = 1 \\
f_1 = 1 \Rightarrow 1 \le f_1 < 1 + p\sqrt {1\,} \,\,\, \\
{\rm Let}\,\,{\rm expression}\,\,{\rm is}\,\,{\rm true}\,\,{\rm at}\,\,{\rm n = m} \\
\Rightarrow \,m \le f_m < m + p\sqrt {m\,} \\
As \\
f_{m + 1} = f_m + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} \\
and\,\,\,\,m + 1 < m + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} \\
{\rm and}\,\,\,\,m + p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \,\,\,\,\,\,\left( {{\rm see}\,\,{\rm below}} \right) \\
\Rightarrow m + 1 \le f_{m + 1} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \\
\\
m + p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \Leftrightarrow \\
p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < 1 + p\sqrt {m + 1\,} \Leftrightarrow \\
p > \frac{{\sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} - 1}}{{\sqrt {m + 1\,} - \sqrt {m\,} }} \\
As\,\,\frac{{\sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} - 1}}{{\sqrt {m + 1\,} - \sqrt {m\,} }}\,\,{\rm is}\,\,\left( {{\rm bounded}} \right) \\
\Rightarrow {\rm p}\,\,{\rm is}\,\,{\rm costant}\,\,{\rm for}\,{\rm all}\,\,{\rm integers} \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/1029c3fe5da3f3a780fe16e7d3c2caf4.png "\[
\begin{array}{l}
Let \\
f_n = 1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + ..... + \sqrt[n]{n} \\
{\rm It}\,\,{\rm can}\,\,{\rm be}\,\,{\rm proven}\,\,{\rm by}\,\,{\rm induction}\,\,{\rm that}\,\, \\
n \le f_n < n + p\sqrt {n\,} \,\,\,\,\,\, \\
\,{\rm where}\,\,{\rm p}\,\,{\rm is}\,\,{\rm a}\,\,{\rm constant} \\
\Rightarrow 1 \le \frac{{f_n }}{n} < \frac{{n + p\sqrt {n\,} }}{n}\, \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + \sqrt[2]{2} + \sqrt[3]{3} + ..... + \sqrt[n]{n}}}{n} = 1 \\
\\
At\,\,n = 1 \\
f_1 = 1 \Rightarrow 1 \le f_1 < 1 + p\sqrt {1\,} \,\,\, \\
{\rm Let}\,\,{\rm expression}\,\,{\rm is}\,\,{\rm true}\,\,{\rm at}\,\,{\rm n = m} \\
\Rightarrow \,m \le f_m < m + p\sqrt {m\,} \\
As \\
f_{m + 1} = f_m + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} \\
and\,\,\,\,m + 1 < m + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} \\
{\rm and}\,\,\,\,m + p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \,\,\,\,\,\,\left( {{\rm see}\,\,{\rm below}} \right) \\
\Rightarrow m + 1 \le f_{m + 1} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \\
\\
m + p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < m + 1 + p\sqrt {m + 1\,} \Leftrightarrow \\
p\sqrt {m\,} + \sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} < 1 + p\sqrt {m + 1\,} \Leftrightarrow \\
p > \frac{{\sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} - 1}}{{\sqrt {m + 1\,} - \sqrt {m\,} }} \\
As\,\,\frac{{\sqrt[{m + 1}]{{m + 1}} - 1}}{{\sqrt {m + 1\,} - \sqrt {m\,} }}\,\,{\rm is}\,\,\left( {{\rm bounded}} \right) \\
\Rightarrow {\rm p}\,\,{\rm is}\,\,{\rm costant}\,\,{\rm for}\,{\rm all}\,\,{\rm integers} \\
\end{array}
\]")
Re: سؤال اليوم 34 -:: نهاية متتالية ::-
بواسطة علي » الاثنين أكتوبر 12, 2009 7:30 pm
السلام عليكم
حل آخر:
هناك صيغة تعرف بمجموع سيزارو Cesaro sum وتنص على أن:
إذا وجدت النهايتان.
بأخذ
فإنه يمكن تطبيق الصيغة مباشرة وإثبات أن النهاية المطلوبة=1 حيث أن 
.
تحياتي
حل آخر:
هناك صيغة تعرف بمجموع سيزارو Cesaro sum وتنص على أن:
إذا وجدت النهايتان.
بأخذ
فإنه يمكن تطبيق الصيغة مباشرة وإثبات أن النهاية المطلوبة=1 حيث أن .نص مخفي:
، لذا حسب التعريف فإنه لكل 
يوجد K بحيث أن 
لكل n>K .
، ولحصر الحد الثاني نختار 
.تحياتي
-
علي - المشرف العام
- مشاركات: 2226
- اشترك في: السبت مارس 11, 2006 11:50 am
Re: سؤال اليوم 34 -:: نهاية متتالية ::-
بواسطة QwareeqMathematics » الاثنين أكتوبر 12, 2009 8:07 pm
رائع 
نص مخفي:
-
QwareeqMathematics - مراقب عام
- مشاركات: 2449
- اشترك في: الخميس إبريل 05, 2007 8:49 am
- مكان: In DiFfErEnT OpEn SeT oF IdEaL L
5 مشاركة • صفحة 1 من 1
المتواجدون الآن
المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر