دالة متصلة بإنتظام على مجالها فهل
مع البرهان.
.........................
الإتصال المنتظم Uniform Continuity
تم رفع السؤال بتاريخ 3\10\2009
منتدى الرياضيات رمز
أول منتدى عربي قدم الرياضيات بأكواد الليتك لنقاش علمي في الجبر , الهندسة , التحليل , نظرية الأعداد
سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
12 مشاركة • صفحة 1 من 2 • 1, 2
سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » الاثنين يناير 12, 2009 4:51 am
لتكن دالة متصلة بإنتظام على مجالها
فهل
مع البرهان.
.........................
الإتصال المنتظم Uniform Continuity
تم رفع السؤال بتاريخ 3\10\2009
دالة متصلة بإنتظام على مجالها فهل
مع البرهان.
.........................
الإتصال المنتظم Uniform Continuity
تم رفع السؤال بتاريخ 3\10\2009
نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » السبت أكتوبر 03, 2009 8:02 pm
هل يوحي العنوان بأن النهاية تساوي 1 أم لا ؟
نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة h2maf » السبت أكتوبر 03, 2009 9:03 pm
هذه محاولة للإثبات أرجو أن تكون صحيحة
![\[
\begin{array}{l}
Case\left( 1 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L \ne 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{L}{L} = 1 \\
Example \\
f(x) = 4 \\
\\
Case\left( 2 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^{ - x} \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/e435adf2a875c9d998368803274d8f89.png "\[
\begin{array}{l}
Case\left( 1 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L \ne 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{L}{L} = 1 \\
Example \\
f(x) = 4 \\
\\
Case\left( 2 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^{ - x} \\
\end{array}
\]")
![\[
\begin{array}{l}
Case\left( 3 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = L \ne 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}}} = \frac{L}{L} = 1 \\
Example \\
f(x) = \frac{{2x}}{{x + 1}} \\
\\
Case\left( 4 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^x \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/6a9e294a7ee07119b4c31f8e49454404.png "\[
\begin{array}{l}
Case\left( 3 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = L \ne 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}}} = \frac{L}{L} = 1 \\
Example \\
f(x) = \frac{{2x}}{{x + 1}} \\
\\
Case\left( 4 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}}} = \frac{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}}}}{{\frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^x \\
\end{array}
\]")
![\[
\begin{array}{l}
Case\left( 5 \right) \\
Let\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)\,is\,not\,exist\,\,and\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}}\,is\,not\,exist\, \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}}is\,not\,exist \\
Example \\
f(x) = \cos \left( x \right) \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/b41f583416a3f20e5694ab75194ddfd4.png "\[
\begin{array}{l}
Case\left( 5 \right) \\
Let\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)\,is\,not\,exist\,\,and\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}}\,is\,not\,exist\, \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}}is\,not\,exist \\
Example \\
f(x) = \cos \left( x \right) \\
\end{array}
\]")
- المرفقات
-
limit_1.pdf- (46.57 KiB) 12 مرة
-
h2maf - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 836
- اشترك في: السبت يوليو 25, 2009 6:55 am
- مكان: الدمام
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » السبت أكتوبر 03, 2009 9:41 pm
h2maf كتب:هذه محاولة للإثبات أرجو أن تكون صحيحة
![\[\
Case\left( 2 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^{ - x} \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/caddab80e514b8b7aab637a5d319191d.png "\[\
Case\left( 2 \right) \\
Let\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0 \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {x + 0} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right)}} = 1 \\
Example \\
f(x) = e^{ - x} \\
\end{array}
\]")
لماذا فرضت أنها قابلة للإشتقاق؟
نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
![\[
\begin{array}{l}
As\,\,f\left( x \right)\,\,is\,{\rm uinformly}\,\,{\rm contious}\,\,{\rm then}\,\,{\rm for }\,{\rm each}\,{\rm fixed}\,{\rm }\delta \, > 0\,\,{\rm such}\,\,\,{\rm that} \\
\left| {x_1 - x_2 } \right| < \delta \,\,{\rm there}\,\,\,{\rm exist}\,\,{\rm fixed}\,\, \in {\rm > 0}\,\,\,{\rm such}\,\,\,{\rm that}\,\,\left| {f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)} \right| < \in \\
Then\,\,f\left( x \right)\,\,is\,{\rm (bounded)} \\
As\,\,f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x_1 \to x_2 } \frac{{f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)}}{{x_1 - x_2 }}\,\, \\
{\rm If}\,\,f'\left( x \right)\,\,is\,not\,\,exist\,\,\,\,this\,\,should\,be\,considerd\,\,as\,another\,more\,\,case \\
\end{array}
\]](/xyz/latexrender/pictures/d09915d9841ddd7a8259e19c5365d45a.png "\[
\begin{array}{l}
As\,\,f\left( x \right)\,\,is\,{\rm uinformly}\,\,{\rm contious}\,\,{\rm then}\,\,{\rm for }\,{\rm each}\,{\rm fixed}\,{\rm }\delta \, > 0\,\,{\rm such}\,\,\,{\rm that} \\
\left| {x_1 - x_2 } \right| < \delta \,\,{\rm there}\,\,\,{\rm exist}\,\,{\rm fixed}\,\, \in {\rm > 0}\,\,\,{\rm such}\,\,\,{\rm that}\,\,\left| {f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)} \right| < \in \\
Then\,\,f\left( x \right)\,\,is\,{\rm (bounded)} \\
As\,\,f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x_1 \to x_2 } \frac{{f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)}}{{x_1 - x_2 }}\,\, \\
{\rm If}\,\,f'\left( x \right)\,\,is\,not\,\,exist\,\,\,\,this\,\,should\,be\,considerd\,\,as\,another\,more\,\,case \\
\end{array}
\]")
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » الاثنين أكتوبر 05, 2009 6:43 pm
ما علاقة المحدودية بقابلية الإشتقاق؟
وعذرا على التأخير.
وعذرا على التأخير.
نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة h2maf » الثلاثاء أكتوبر 06, 2009 3:36 am
المقصود هو ربما كانت الدالة المتصلة بانتظام قابلة للأشتقاق وربما غير قابلة للاشتقاق وذلك بالنسبة للحالة 2 والحالة 4 أعلاه
فاذا كانت قابلة للاشتقاق و![\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) \ne 0
\]](/xyz/latexrender/pictures/a670f6e233cefe91f6c8d8da1a609c80.png "\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) \ne 0
\]")
كانت ![\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = 1
\]](/xyz/latexrender/pictures/0881214020a53e92acfb3a0692a83a04.png "\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} = 1
\]")
وإذا لم تكن قابلة للاشتقاق أو ![\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 0
\]](/xyz/latexrender/pictures/e6368dd70c2ae618006629987a942b19.png "\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 0
\]")
فانها تحتاج لدراسة خاصة حسب تعريف الدالة
فاذا كانت قابلة للاشتقاق و
كانت وإذا لم تكن قابلة للاشتقاق أو فانها تحتاج لدراسة خاصة حسب تعريف الدالة-
h2maf - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 836
- اشترك في: السبت يوليو 25, 2009 6:55 am
- مكان: الدمام
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » الثلاثاء أكتوبر 06, 2009 4:52 pm
![\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}
{2}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {0,2} \right],} \\
{} & {} \\
{\frac{1}
{n}} & {{\text{for}}\;x = n,n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{\frac{2}
{n}} & {{\text{for}}\;x = n + \frac{1}
{n},n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{x - n + \frac{1}
{n}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {n,n + \frac{1}
{n}} \right),n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{ - \frac{{n + 2}}
{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}\left( {x - n - \frac{1}
{n}} \right) + \frac{2}
{n}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {n + \frac{1}
{n},n + 1} \right),n \geqslant 2.} \\
\end{array} } \right.\]](/xyz/latexrender/pictures/85d13670366619ecd17626c091f5cf84.png "\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}
{2}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {0,2} \right],} \\
{} & {} \\
{\frac{1}
{n}} & {{\text{for}}\;x = n,n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{\frac{2}
{n}} & {{\text{for}}\;x = n + \frac{1}
{n},n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{x - n + \frac{1}
{n}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {n,n + \frac{1}
{n}} \right),n \geqslant 2,} \\
{} & {} \\
{ - \frac{{n + 2}}
{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}\left( {x - n - \frac{1}
{n}} \right) + \frac{2}
{n}} & {{\text{for}}\;x \in \left( {n + \frac{1}
{n},n + 1} \right),n \geqslant 2.} \\
\end{array} } \right.\]")
![\[\left( {0,\infty } \right)\]](/xyz/latexrender/pictures/2f19d830b1aefff07fc078737611bc69.png "\[\left( {0,\infty } \right)\]")
، و ![\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0\]](/xyz/latexrender/pictures/1bfb2700f3c4825819aa7ed4de4e1dd1.png "\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0\]")
![\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}
{2}\]](/xyz/latexrender/pictures/ff207cfbbd65fef34a5b5b3db69e7e9b.png "\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}
{2}\]")
![\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f\left( {n + \frac{1}
{n}} \right)}}
{{f\left( n \right)}} = 2\]](/xyz/latexrender/pictures/31c9dc6abb54e68254502a5b7ebce766.png "\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f\left( {n + \frac{1}
{n}} \right)}}
{{f\left( n \right)}} = 2\]")
![\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}
{x}} \right)}}
{{f\left( x \right)}} \ne 1\]](/xyz/latexrender/pictures/c42358b7304676fab30ed7f0fbeab1e6.png "\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}
{x}} \right)}}
{{f\left( x \right)}} \ne 1\]")
آخر تعديل بواسطة إباء في الثلاثاء أكتوبر 06, 2009 6:37 pm، عدل 1 مرة
نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة h2maf » الثلاثاء أكتوبر 06, 2009 6:37 pm
توجد أمثلة أخرى بسيطة لدوال متصلة بانتظام حيث ![\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} \ne 1
\]](/xyz/latexrender/pictures/50a28c0603c00d21e35df6e00e42bd2b.png "\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{f\left( x \right)}} \ne 1
\]")
مثل ![\[
\cos \left( x \right),\sin \left( x \right),\frac{{1 + \sin \left( {x^2 } \right)}}{x}
\]](/xyz/latexrender/pictures/513dd16db892d68e456b22a3317860b6.png "\[
\cos \left( x \right),\sin \left( x \right),\frac{{1 + \sin \left( {x^2 } \right)}}{x}
\]")
مثل -
h2maf - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 836
- اشترك في: السبت يوليو 25, 2009 6:55 am
- مكان: الدمام
Re: سؤال اليوم 33 -:: وإن كانت متصلة بإنتظام! ::-
بواسطة إباء » الثلاثاء أكتوبر 06, 2009 6:58 pm
فعلا أيها المبدع لقد وضعتها في مشاركتك الأولى .
لكني وضعت هذا المثال ، لأن الدالة فيه موجبة قطعا ( انظر المجال المقابل في السؤال )
اثبت أن هذه الدالة متصلة بانتظام على الفترة![\displaystyle \[\left( {0,\infty } \right)\]](/xyz/latexrender/pictures/c6eea7104ccf848420905d72358a4969.png "\displaystyle \[\left( {0,\infty } \right)\]")
.
لكني وضعت هذا المثال ، لأن الدالة فيه موجبة قطعا ( انظر المجال المقابل في السؤال )
h2maf كتب:توجد أمثلة أخرى بسيطة لدوال متصلة بانتظام حيث
![\[
\,\frac{{1 + \sin \left( {x^2 } \right)}}{x}
\]](/xyz/latexrender/pictures/f7d5a866490e97ae0e61201dc922f3d6.png "\[
\,\frac{{1 + \sin \left( {x^2 } \right)}}{x}
\]")
اثبت أن هذه الدالة متصلة بانتظام على الفترة
.نص مخفي:
-
إباء - مشرفة الجبر
- مشاركات: 1553
- اشترك في: الثلاثاء يوليو 10, 2007 4:03 pm
12 مشاركة • صفحة 1 من 2 • 1, 2
المتواجدون الآن
المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر