منتدى الرياضيات رمز

CC:

Prove that

$5\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) \le 6\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 1$

hello:

تم إضافة السؤال بتاريخ 10 \1\ 2010 م

بواسطة **Nash** » الأحد يناير 10, 2010 9:07 pm

لدينا من الشرط:

$5(a^2+b^2+c^2) \leq 6(a^3+b^3+c^3)+1 \\ \Leftrightarrow 5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \leq 6(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3\\ \Leftrightarrow 5\sum_{cyc}a^3 + 5\sum_{sym}ab^2 \leq 7 \sum_{cyc}a^3 +3\sum_{sym}ab^2 +6abc\\ \Leftrightarrow \sum_{cyc}a^3 +3abc \geq \sum_{sym}ab^2$

و المتباينة الاخيرة صحيحة من متباينة schur وهي:

$\sum_{cyc}a(a-b)(a-c) \geq 0$

بواسطة **mezouaghi** » الأحد مارس 28, 2010 2:27 am

هل المتباينة الاخيرة صحيحة دوما من اجل اعداد موجبة ؟
0>(8-3)(8-12)8 ماذا عن هذا المثال؟

بواسطة **h2maf** » الأحد مارس 28, 2010 8:15 am

طريقة أخرى

$\begin{array}{l} Let \\ \\ a = \frac{1}{3} + u\cos \left( v \right) \\ \\ b = \frac{1}{3} + u\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + v} \right) \\ \\ c = \frac{1}{3} + u\cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3} + v} \right) \\ \\ a + b + c = 1 \\ \\ As\,\,a,b,c > 0\,\, \to \,\,\left| u \right| < \frac{1}{3} \\ \\ a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}u^2 \\ \\ a^3 + b^3 + c^3 = \frac{1}{9} + \frac{3}{2}u^2 + \frac{3}{4}u^3 \cos \left( {3v} \right) \\ \\ 5\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) - 6\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) - 1 = - \frac{3}{2}u^2 {\rm - }\frac{9}{2}u^3 \cos \left( {3v} \right) \le 0 \Leftrightarrow \\ \\ u = 0 \vee 1{\rm + }3u\cos \left( {3v} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left| u \right| < \frac{1}{3} \\ \end{array}$

منتدى الرياضيات رمز

سؤال اليوم -::40 ::- المتباينة الثانية عشر

سؤال اليوم -::40 ::- المتباينة الثانية عشر

Re: سؤال اليوم -::40 ::- المتباينة الثانية عشر

Re: سؤال اليوم -::40 ::- المتباينة الثانية عشر

Re: سؤال اليوم -::40 ::- المتباينة الثانية عشر

المتواجدون الآن