منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **QwareeqMathematics** » الأحد نوفمبر 29, 2009 11:57 pm

السلام عليكم :

أثبت التماثل الآتي :

$(\mathbb C\backslash \{0\},\bullet )\cong (\mathbb R\backslash \{0\},\bullet )\times (\mathbb {R/Z},+)$

حيث : $\bullet$ تمثل الضرب الإعتيادي و

الجمع الإعتيادي .

رفع بتاريخ 29\11\2009

بواسطة **الصادق** » الأحد ديسمبر 06, 2009 5:53 am

QwareeqMathematics كتب:السلام عليكم :

أثبت التماثل الآتي :

$(\mathbb C\backslash \{0\},\bullet )\cong (\mathbb R\backslash \{0\},\bullet )\times (\mathbb {R/Z},+)$

حيث : $\bullet$ تمثل الضرب الإعتيادي و الجمع الإعتيادي .

رفع بتاريخ 29\11\2009

السلام عليكم اخى الكريم QwareeqMathematics
لدى محاولة متواضعة لحل المسألة

دعنا نُعرف ال map
$\rm f:\mathbb C\backslash \{0\}\to \mathbb R\backslash \{0\}$ ولتكن السعة modulus للعدد المركب اى ان $\rm f(z)=|z|$ الان نجد ان النواة kernel هى مجموخة النقاط الواقعة فى دئرة التى نصف قطرها 1 اى ان $\rm Ker (f)=S^1=\{\rm e^{i\theta}\in \mathbb{C}|\theta \in \mathbb{R}\}$
الان يمكن ان نبرهن ان $\mathbb {R/Z}$ هى زمرة isomorphic للزمرة $S^{1}$
دعنا نُعرف الماب $\rm g:(\mathbb{R},+)\to (S^1,\bullet)$ على النحو $g(a)=\rm e^{2\pi i a}$ ونسبة لان $g(a+b)=\rm e^{2\pi i(a+b)}=\rm e^{2\pi ia}\rm e^{2\pi ib}=g(a)g(b)$
فان g هى morphism ومن الواضح ايضاً انها surjective وان ال kernel هو $\{a \in \mathbb{R}|\rm e^{2\pi ia}=1\}=\mathbb{Z}$
وهكذا فان $\mathbb{R/Z}\cong S^1$
والان من The First Isomorphism Theorem التى تقول اذا كانت G و H زمر وكانت f عبارة عن homomorphism من G الى H بصورة Im( f )

ونواة

فان
$G/\rm ker(f)\cong \rm Im(f)$
وطالما ان f قد عرفناها بانها ال modulus وكانت نواتها هى الدائرة التى نصف قطرها يساوى 1 فان
$(\mathbb{C}/{0},\bullet)/\rm ker(f)\cong(\mathbb{R}/{0},\bullet)$
مع ملاحظة ان $\rm Ker(f)=S^{1}\cong (\mathbb{R/Z},+)$
نخلص الى التماثل المطلوب اثباته
والله تعالى اعلم

و عليكم السلام :

رائع أخي gg:

إذاً : الفكرة فقط تعتمد على أن أي $z\in\mathbb C\backslash \{0\}$ فإنه يمكن كتابتها على شكل :

$z=|z|\cdot \frac{z}{|z|}$

و من هنا اختمرنا فكرة S^1

وفقك الله

بواسطة **الصادق** » الثلاثاء ديسمبر 08, 2009 7:31 am

QwareeqMathematics كتب:و عليكم السلام :

رائع أخي

إذاً : الفكرة فقط تعتمد على أن أي $z\in\mathbb C\backslash \{0\}$ فإنه يمكن كتابتها على شكل :

$z=|z|\cdot \frac{z}{|z|}$
و من هنا اختمرنا فكرة

وفقك الله

آمين و اياك اخى وجميع المسلمين

منتدى الرياضيات رمز

سؤال اليوم -::37::- زمرة الأعداد المركبة ( Cool )

سؤال اليوم -::37::- زمرة الأعداد المركبة ( Cool )

Re: سؤال اليوم -::37::- زمرة الأعداد المركبة ( Cool )

Re: سؤال اليوم -::37::- زمرة الأعداد المركبة ( Cool )

Re: سؤال اليوم -::37::- زمرة الأعداد المركبة ( Cool )

المتواجدون الآن