منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **علي** » الخميس ديسمبر 10, 2009 11:33 pm

لتكن

أعداداً مستقلة عن بعضها وتأخذ قيماً من المجموعة $\{0,1\}$ تبعاً للاحتمالين الآتيين:

$\Pr(a_i=1)=p_i ,\Pr(a_i=0)=1-p_i$

أوجد احتمال أن يكون مجموع الأعداد زوجياً.

(بعبارة أكثر دقة: a_1,..a_n

متغيرات عشوائية ثنائية مستقلة independent binary random variables )

رفع بتاريخ 21/12/2009

بواسطة **G#@!TH** » الأربعاء ديسمبر 30, 2009 10:10 pm

يا ريت توضح السؤال أكثر؟

بواسطة **إباء** » الخميس ديسمبر 31, 2009 3:44 pm

المطلوب احتمال أن يكون $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i }$ عددا زوجيا.

بواسطة **علي** » الخميس ديسمبر 31, 2009 9:34 pm

ما رأيكم أن تبدؤوا بالحالة الخاصة p_1=p_2=..=p_m=p

؟

بواسطة **إباء** » الخميس ديسمبر 31, 2009 9:58 pm

محاولة سريعة

$\begin{gathered} \left( {1 - p} \right)^n + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ 2 \\ \end{array} } \right)p^2 \left( {1 - p} \right)^{n - 2} + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ 4 \\ \end{array} } \right)p^4 \left( {1 - p} \right)^{n - 4} \hfill \\ + \cdots + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {2\left\lfloor {\frac{n} {2}} \right\rfloor } \\ \end{array} } \right)p^{2\left\lfloor {\frac{n} {2}} \right\rfloor } \left( {1 - p} \right)^{n - 2\left\lfloor {\frac{n} {2}} \right\rfloor } \hfill \\ \end{gathered}$

بواسطة **علي** » الخميس ديسمبر 31, 2009 11:10 pm

يمكن كتابة الحل بصورة أبسط بكثير .. CC:

تلميح:

نص مخفي:

بواسطة **إباء** » الجمعة يناير 01, 2010 4:27 am

$P_n = P_{n - 1} \left( {1 - 2p} \right) + p$

وباستخدام نظرية 1 في موضوع المعادلة التكرارية الخطية من الرتبة الأولى

$P\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } \quad {\text{is even}}} \right) = \frac{1} {2}\left( {\left( {1 - 2p} \right)^n + 1} \right)$

ملاحظة :

هذه طريقة استنتاج الصيغة التكرارية:

$\begin{gathered} P\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } \quad {\text{is even}}} \right) \hfill \\ = P\left( {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {a_i } \quad {\text{is even and }}a_n = 0} \right) + P\left( {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {a_i } \quad {\text{is odd and }}a_n = 1} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} = P\left( {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {a_i } \quad {\text{is even}}} \right)\left( {1 - p} \right) + \left( {1 - P\left( {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {a_i } \quad {\text{is even}}} \right)} \right)p \hfill \\ = P\left( {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {a_i } \quad {\text{is even}}} \right)\left( {1 - 2p} \right) + p \hfill \\ \end{gathered}$

...........................................

وفي الحالة العامة العلاقة التكرارية

$P_n = P_{n - 1} \left( {1 - 2p_n } \right) + p_n$

بواسطة **علي** » الجمعة يناير 01, 2010 9:43 pm

جميل ..

لكن يبدو لي أنه يجب أن يبدأ المجموع i=1 وليس من i=0،

بقي إيجاد الصيغة الصريحة للحالة العامة .. وإنها بسيطة أيضاً ..

تحياتي

بواسطة **إباء** » الثلاثاء يناير 05, 2010 3:50 am

تم تعديل الدليل.

وهذا ما توصلت له إلى الآن

$\begin{gathered} P_n = \left( {1 - p_1 } \right)\prod\limits_{i = 2}^n {\left( {1 - 2p_i } \right)} + \sum\limits_{i = 2}^n {\left( {p_i \prod\limits_{k = i + 1}^n {\left( {1 - 2p_k } \right)} } \right)} \hfill \\ = \prod\limits_{i = 2}^n {\left( {1 - 2p_i } \right)} + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {p_i \prod\limits_{k = i + 1}^n {\left( {1 - 2p_k } \right)} } \right)} \hfill \\ \end{gathered}$

وبوضع p_0 = 1

$P_n = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {p_i \prod\limits_{k = i + 1}^n {\left( {1 - 2p_k } \right)} } \right)}$

....................................

كما يمكن (بالإستقراء الرياضي) إثبات أن

$P_n = 1 + \frac{1} {2}\sum\limits_{\varphi \ne I \subseteq \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}} {\left( { - 2} \right)^{\left| I \right|} } \prod\limits_{i \in I} {p_i }$

$P_n = \frac{1} {2} + \frac{1} {2}\sum\limits_{I \subseteq \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}} {\left( { - 2} \right)^{\left| I \right|} } \prod\limits_{i \in I} {p_i }$

بواسطة **علي** » الجمعة يناير 08, 2010 6:06 pm

أعتذر عن التأخير ..
يبدو الحل صحيحاً .. ولكن يمكن الحصول على صورة أبسط على الشكل:

نص مخفي:

سأعود لاشتقاق الصيغة إن لم يسبقني أحد ..

تحياتي

منتدى الرياضيات رمز

سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

Re: سؤال اليوم :: 39 :: احتمال زوجية مجموع أعداد

المتواجدون الآن