نقاش في الاستقراء الرياضي

Discrete Mathemetics
Mathematique Discrete

الخوارزميات, التركيبات ومسائل العد, , معادلات الفروق, نظرية الرسومات

المشرفون: ابو مؤيد, Ould Youbba, المراقبون

قوانين المنتدى
    هذا المنتدى مخصص لـ :
    • نظرية المجموعات
    • المنطق الرياضي وطرق البرهان
    • نظرية العدد
    • الرياضيات المتقطعة (المنفصلة)

نقاش في الاستقراء الرياضي

مشاركةبواسطة المحترف » الاثنين سبتمبر 25, 2006 1:11 am

السلام عليكم اعضاء المنتدى الكرام ومرتاديه

هذا سؤال أعرضه عليكم للنقاش وكل يبدي وجهة نظره

مبدأ الإستقراء الرياضي ... او كما يسميه البعض بالترجع أو الاستنتاج

هل هو مبدأ بلا برهان رياضي ام أن له برهان؟؟

وإذا كان له برهان فلماذا نسميه دائما بالمبدأ ؟؟؟ لما لا نسمية نظرية أو حقيقة او مبرهنة الاستقراء مثلا ؟؟


وكل عام وانتم بخير :) :)
صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

مشاركةبواسطة ماتركس » الأربعاء أكتوبر 04, 2006 10:11 pm

السلام عليكم
أخي وأستاذي الكريم

بالنسبة لشخصي
انظر إليه أنه عبارة مركبة من إقتضاء
ويسرى عليه أحكام المنطق الرياضي
وجداول الصحة
أعرف أن هذا ليس تأصيلا
ولكنه هذا الذي أملكه الآن
اللهم يامفهم سليمان فهمني
صورة العضو الشخصية
ماتركس
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 338
اشترك في: الأحد إبريل 09, 2006 12:40 am
مكان: السعودية
تلقى الشكر: 2 مرة

مشاركةبواسطة المحترف » الخميس أكتوبر 05, 2006 2:55 am

وعليكم السلام ورحمة الله

بداية جميلة وصحيحة اخي ماتركس
الاستقراء مجرد اقتضاء.

إذا كانت P(n) عبارة رياضية تتعلق بالعدد الطبيعي n وكان

1- P(1)
2- P(n) \Rightarrow P(n + 1)

فإن \{ n:P(n)\}  = \mathbb N

أي أن مجموعة كل الأعداد التي تحقق العبارة P(n) هي بالضبط مجموعة الأعداد الطبيعية. وبناء على مداخلة الاستاذ ماتركس يصبح السؤال :

هل هذا الاقتضاء له اثبات أم أنه اقتضاء مسلماتي ؟

صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

الجزء الأول: نقاش علمي

مشاركةبواسطة safwan » الأربعاء ديسمبر 13, 2006 7:46 pm

قبل كل شيء:
( موضوعة = مسلمة = مبدأ = بديهية، غير أني أفضل واستخدم الأولى لأسباب منها أن ذلك هو اختيار معجم الرياضيات المعاصرة مرادفاً لـ Axiom )

"مبدأ الاستقراء الرياضي" موضوعة أم ماذا؟ :

أولاً: المختصر المفيد:
(مبدأ الاستقراء الرياضي) في نظرية الأعداد الطبيعية كما وضعها الرياضي الإيطالي بيانو [1858 - 1932] {بالشكل الذي درسناه في منهج الثاني الثانوي} هو موضوعة مستقلة بذاتها عن بقية الموضوعات كما أنه ليس موضوعة "منطقية" على الاطلاق - أي أنه ليس تحصيل حاصل! - لأنه يكافئ {أو على الأقل يتضمن!} خاصية هامة عن بنية "مجموعة" الأعداد الطبيعية ذاتها. وفي "نظرية المجموعات" أو "نظرية أخرى للأعداد الطبيعية بصياغة أخرى" تكون موضوعات بيانو -أو بعضها- مبرهنات لها بما فيها موضوعة "الاستقراء الرياضي" .{طبعاً بشرط أن تكون -وهذا هو الحاصل- موضوعاتها كافية للبرهنة على موضوعات بيانو}.

ثانياً: سر البلاء والبلبلة (الحدس والحس العام):
سنفترض أننا كلنا على دراية كافية بـ"مجموعة" الأعداد الطبيعية \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, ... \} - هكذا نزعم! ثم نتفاجأ بالعجائب! وهي أعداد جميلة وطيبة! تمكننا من إجراء عمليات - العد، الجمع، الضرب وإن مجموعة هذا الأعداد مخيمة ومعششة في أدمغتنا هي وخواصها الجميلة!

ثالثاً: المفيد المختصر:
لقد حاول عدد من الرياضيين إعطاء بنية منطقية للمجموعة المعششة في أدمغتنا بقبول بعض خواص هذه الاعداد كموضوعات. وكان أشهرهم الرياضي الإيطالي بيانو[1858 - 1932] فوضعها في نظرية رياضية خاصة بها باللجوء الى لغة المنطقية مناسبة ومجموعة موضوعات ودون استخدام "لغة نظرية المجموعات" لكانتور [1845 - 1918] . وهذه الموضوعات هي:
-------------------------------------------------------------
موضوعة 1 - الصفر عدد طبيعي نرمز له بالشكل 0 .
موضوعة 2 - لكل عدد طبيعي x عدد طبيعي يليه نرمز له بالرمز S(x).
موضوعة 3 - الصفر ليس تالياً لأي عدد طبيعي.
موضوعة 4 - إذا كان عدد طبيعي تالياً لآخرين فهما "متساويين - العدد نفسه".
موضوعة 5 -(مبدأ الاستقراء الرياضي) لتكن P(x) جملة مفتوحة تتعلق بالعدد x فاذا كانت هذه الجملة صائبة من أجل الصفر، ونتج عن فرض صحتها عند أي عدد صحتها عند تالي ذلك العدد فالقضية P(x) صحيحة عند أي عدد طبيعي.
--------------------------------------------------------------
وقدم بيانو أيضاً موضوعتين لعملية الجمع وموضوعتين للضرب سنكتفي بموضوعتي الجمع هنا:
موضوعة 6 - حاصل جمع الصفر من اليسار إلى أي عدد إلى هو العدد نفسه.
موضوعة 7 - حاصل جمع عدد x من اليسار إلى تالي أي عدد y هو التالي لحاصل جمع x من اليسار إلى y.
--------------------------------------------------------------
ملحوظة: العبارات السابقة - بالصياغة السابقة - ليست بالضرورة كلها موضوعات "بالمعنى الصوري الدقيق لمصطلح موضوعة كما هو اليوم"

تم الجزء الأول : في الجزء القادم سنكمل بقية النقاش وسنثبت أن مبدأ الاستقراء الرياضي ما هو إلا عبارة عن موضوعة مستقلة عن الموضوعات الأخرى بل يمكن القبول بنفيه ! لنكون نظام منطقي آخر وسنثبت أن مبدأ الاستقراء يتضمن خاصية مميزة لمجموعة الأعداد الطبيعية المعششة في أدمغتنا.
صورة العضو الشخصية
safwan
عـضـو
 
مشاركات: 25
اشترك في: الأربعاء مارس 22, 2006 6:19 pm
تلقى الشكر: 0 مرة

مشاركةبواسطة المحترف » الخميس ديسمبر 14, 2006 7:45 pm


أخيرا عاد هذا السؤال للمنصة بعد أن كاد يغرق في النسيان

عاد به Safwanxp الأخ العزيز. حياك الله بعد طول غياب :)

هذه المقدمة الشبه رسمية يبدو انها تخفي شيئا.
سننتظر الجزء القادم صفوان , وبعدها وبعد مسلمة الترتيب الجيد well ordered axiom لكل حادث حديث.


صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

مشاركةبواسطة ماتركس » الأربعاء ديسمبر 20, 2006 10:13 pm

بسم الله الرحمن الرحيم
إليكم الجمل التالية

"لايوجد مجموعة استقرائية في داخل N"
"فإن وجدت فيمكن البرهنة على أنها N بكاملها"
"المفهومين السابقين هما مبدأ الإستقراء الرياضي"
اللهم يامفهم سليمان فهمني
صورة العضو الشخصية
ماتركس
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 338
اشترك في: الأحد إبريل 09, 2006 12:40 am
مكان: السعودية
تلقى الشكر: 2 مرة

مشاركةبواسطة المحترف » الأربعاء ديسمبر 20, 2006 11:24 pm


أهلا يا ماتركس

هذا استنتاج من تعريف المجموعة الاستنتاجية , وهو ما يميل اليه التحليليين لانه يحقق لهم هدفين

1) استخراج \mathbb N من \mathbb R

2) تقرير مبدأ الأستقراء من خلال النتيجة التي ذكرتها , أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي اصغر مجموعة استنتاجية في \mathbb R.

شكرا لك


صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

الجزء الثاني:

مشاركةبواسطة safwan » الجمعة ديسمبر 22, 2006 7:04 pm

معذرة على التأخير والآن لنستمر بتحليل الوضع (اغفروا لي سطحية الألفاظ !).
هل موضوعات بيانو (الخمس الأولى) تصف بالضبط "المجموعة أو النموذج" \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, ... \} الموجودة في "أدمغتنا"!!
وهل الموضوعة الخامسة (مبدأ الاستقراء) ضرورية لوصف المجموعة \mathbb{N} ؟؟ لنستمر في التحليل ولنمر على موضوعات بيانو بالتتابع
وسنجد أنه تنشأ في عالم الذهن! في كل مرة مجموعة تزاحم المجموعة \mathbb{N} على موضوعات بيانو.

النموذج الأول :
مع الموضوعة الأولى تبرز مثلاً المجموعة \mathbb{S}_1 = \{0\} وهي تنافس المجموعة \mathbb{N} على الموضوعة الأولى
فكل منهما تحتوى على الصفر "أو بمعنى أدق صفرها".

النموذج الثاني :
مع اضافة الموضوعة الثانية يتنحى النموذج الأول أي أن \mathbb{S}_1 تخرج من المنافسة غير أنه تظهر مثلاً المجموعة \mathbb{S}_2  = \{ 0, 1\}
وهي تنافس المجموعة \mathbb{N} على الموضوعتين الأولى والثانية. إذ أنه هنا يكون تالي 0 هو 1، وتالي 1 هو 0

النموذج الثالث: مع اضافة الموضوعة الثالثة يتنحى النموذج الثاني أي أن \mathbb{S}_2 تخرج من المنافسة لكن هنا تظهر المجموعة \mathbb{S}_3 = \{0, 1, 2 \}
ونقول إن تالي 0 هو 1 و تالي 1 هو 2
وتالي 2 هو 1.

النموذج الرابع: مع اضافة الموضوعة الرابعة يتنحى النموذج الثالث (لماذا؟؟) لكن هنا نلاحظ أن المجموعة/النموذج \mathbb{N} تظل منسجمة مع الموضوعات الأربع.
لكن هل يوجد نموذج غيره ؟ نعم هناك !.

خذ مثلاً \mathbb{S}_4 = \{0, 1, 2, ... \} \cup \{1', 2', 3'... \}.
حيث تالي 0 هو 1 و تالي 1 هو 2 وهكذا.
و تالي 1' هو 2' وهكذا.

إن النموذج الرابع أيضاً يحقق كل موضوعات بيانو الأربع السابقة
((طرفة حقيقية!! :
المجموعات \mathbb{N} و \mathbb{Z} و\mathbb{Q} و \mathbb{R}
تتنافس أيضاً على الموضوعات الأربع السابقة!!!)).

مع الموضوعة الخامسة (موضوعة مبدأ الاستقراء) يتنحى النموذج الرابع بالشكل الذي عرفناه (لماذا ؟؟).


إذن فموضوعة الاستقراء لا علاقة لها بالموضوعات قبلها أي أنها مستقلة عنها فكما رأينا يوجد نموذج (النموذج الرابع مثلاً) يحقق الموضوعات الأربع ولا يحقق موضوعة الاستقراء.

ففي النموذج الرابع (+ بالاضافة لموضوعتي الجمع ) لا يمكن تعريف الجمع على لجميع عناصر المجموعة :
\mathbb{S}_4 = \{0, 1, 2, ... \} \cup \{1', 2', 3'... \}.

وبالتالي فإن موضوعة مبدأ الإستقراء في نظام بيانو تتضمن خاصية مهمة عن مجموعة الإعداد نفسها وهي مستقلة عن الموضوعات الأربع.

وطبعاً بقيَت تفصيلات وتدقيقات كثيرة أتركها إلى أن يستمر النقاش.
صورة العضو الشخصية
safwan
عـضـو
 
مشاركات: 25
اشترك في: الأربعاء مارس 22, 2006 6:19 pm
تلقى الشكر: 0 مرة

مشاركةبواسطة المحترف » السبت ديسمبر 23, 2006 6:06 pm

تسجيل حضور أخي صفوان ولي عودة بعد انهاء مواضيع عالقة. لك التحية
صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

مشاركةبواسطة المحترف » الأحد ديسمبر 24, 2006 8:51 pm


السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ساستخدم المصطلحين "مسلمة" و "موضوعة" بمعنى واحد.

بداية أقول جزيت الخير على هذا الطرح والذي استطيع أصفه بأنه خلاصة صفحات وفرت علينا كتابة مقدمة نتخذها أرضية للنقاش وسأبدأ أولا بالتعليق على ما تضمنته المشاركة الأولى من زاوية تعتبر خارج موضوع النقاش واعذروني على ذلك ولكنها قد تختلط على البعض منا.

احب أن اشير إلى ان نظام بيانو قدم لنا الأعداد الطبيعية وليس مجموعة الأعداد الطبيعية , والفرق كبير. وحتى لو استنجد بنظرية مجموعات كانتور أو ما نسميها النظرية البديهية في المجموعات والتي تعلم في المدارس اليوم فلن ينتج لنا مجموعة الأعداد الطبيعية.

لماذا؟

بيانو قدم لنا من ضمن ما قدم الطريقة التي تمكننا من إيجاد الأعداد الطبيعية كما عششت في عقولنا حسب تعبيرك , طريقة تحاكي الفطرة إن جاز التعبير. فكل عدد طبعي n له التالي n^ + أو كما تسميه S(n). إذا استطيع أن اكتب
0,\quad 0^ +   = 1,\quad 1^ +   = 2,\quad 2^ +   = 3, \cdots ,\quad (n - 1)^ +   = n



وذلك إلى أي قيمة n نشاء مهما كانت كبيرة. لكن هذا شيء وفكرة المالانهاية شيء آخر . فليس في نظام بيانو ولا كانتور ما يضمن ويثبت وجود مجموعة (غير منتهية) \omega بحيث 0 \in \omega و كل عنصر فيها له تالي في نفس المجموعة. طبعا حل هذه المشكلة في نظام ZF المسلماتي لنظرية المجموعات من خلال axiom of infinity , مسلمة اللانهاية.

هذا كان تعليق بسيط استفدت فيه من تلك المقدمة عن بيانو ونظامه في مشاركتك الأولى للتأكيد على التفريق بين الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الطبيعية.

فيما يتعلق بالمشاركة الثانية:
ذكرت تنحى النموذج \mathbb{S}_3  = \{ 0,1,2\} ؟ عند دخول الموضوعة الرابعة والسبب لأن في هذا النموذج العنصر 1 تاليا للعنصرين 2,0 وهذا يخالف موضوعة4) .لكن عدم تحقيق \mathbb{S}_5 لموضوعة الاستقراء يحتاج لتوضيح منك؟
نحتاج منك اخي العزيز إلى عبارةP(x) فيها P(0) وفيها P(n) \Rightarrow P(n^ +  ) حيث n \in \mathbb{S}_5 , ومع ذلك P(n) غير صائبة عند بعض n \in \mathbb{S}_5؟

وبالنسبة لموضوع السؤال أشكرك على تبيانك وبإتقان كيف أن \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, ... \} لا تتميز بالموضعات الأربع الأولى بل تحتاج لموضوعة الإستقراء الرياضي وهذا يثبت تماما استقلالها الذي هو بمثابة اجابة عن سؤال الموضوع أو قل الوجه الأول من السؤال.

ننتقل للوجه الآخر من السؤال ولن أتعب في التقديم له فهو موجود ضمنا في أجوبتك يا صفوان شيء ماعنه.

مبدأ الإستقراء الرياضي عبارة عن نظرية في نظرية المجموعات المسلماتية The Aximatic Sets Theory . لكن في أي منها؟هل يمكن اثباته في نظام ZF ؟ أو لابد من النظام ZFC ؟

مرة ثانية شكراSafwan وننتظر المشاركة من بقية الأعضاء الكرام.


صورة العضو الشخصية
المحترف
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 2593
اشترك في: السبت مارس 11, 2006 1:24 pm
مكان: داخل ملابسي
تلقى الشكر: 190 مرة

التالي

العودة إلى الرياضيات المتقطعة

الموجودون الآن

المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 0 زائر/زوار